apuntes con lo mejor de mate III: septiembre 2008

DETERMINACION DE LA DIRECCCION DEL PRODUCTO CRUZ

ropiedades del producto cruz.-

teorema A,B,C en r3 y para cualquier escalar tenemo

1) AxB= -(AxB) no conmuta
2) (dA)xB= d(AxB) = Ax(dB)
3) AxB+c = AxB+Axc distributiva
4)(A+B)c = AxC+Bxc
5)A.(BXc)=(AxB).c producto escalar triple
6)(AxB)xC=(A.C)B-(A.B).C producto vectorial triple

Magnitud de un producto cruz
la magnitud del producto de 2 vectores AyB de el area del paralelogramo en el que dos de sus lados adacentes estan formados por los dos vectores distintos del vector 0 y r3 si el angulo entre a y b esta entre 0 y $\pi$ entonces el producto cruz es $||AxB||=||A||||B||sen\phi$
entonces el area sera

$arcsen\frac{||AXB||}{||A||||B||}$

Producto escalar o producto punto

roducto escalar o producto punto

definicion: el producto punto de dos vectores A Y B en $r^2$
se obtiene mediante

$A.B=<a_1,a_2>*<b_1,b_2>=a_1*b_1+a_2*b_2$

propiedades del producto punto .-

para vectores cualquiera AB y para cualquier escalar :
teorema :

A.B=B.A
A.(BC)=A.B+A.C
(D.A)B= D(A.B) A(D.B)
0.A=0
A.A=||A||

plicaciones :
angulo entre vectores

el angulo entre los vectores A Y B es por definicion el menor de los angulos formados A.B donde el angulo esta entre $0<=\phi<=\pi$

teorema:

se A Y B son dos vectores distintos de 0 y el angulo entre los vectores, entonces :
$A.B=||A||||B||\cos\phi$
entonces
$\phi=\frac{cos{-1}A.B}{||A||||B||}$
nota: dos vectores AyB son ortogonales si y solo si A.B=0

leyes de algebra vectorial

leyes de algebra vectorial

teorema.- si a, b y c son vectores cualquiera en
$r^3$
y c y d son vectores cualesquiera en la suma vectorial y la multipliacacion escalar cumplen las siguientes porpiedades

A+B = B+A conmutativa
A+(B+C) = (A+B)+ C asociativa
A+0 = A vector cero
A+(-A)= 0 existen el negativo
(CD)A=A(CD) asociativa
C(A+B) = CA + CB distributiva
1(A) = A identidad del multiplicativo escalar
0(A)=0 multiplicacion por 0 escalar

Vectores en el espacio

vectores en el espacio.-

un sistema importante de vectores son los que tienen por direcciones las correspondientes a los eje de un sistema de coordenadas cartesianas el espacio $X , Y , Z$ con sentidos positivos.

desxtrogiro o giro a la derecha
magniud de un vector